Для экономистов часто необходимо оптимизировать производственную функцию, максимизировать или минимизировать ее, например, прибыль, убыток или другие данные с учетом линейного ограничения. Понимание задач линейного программирования и постановка задач — это требует знания основ математики и статистики. Задачей линейного программирования (LP) является определение функции для получения оптимальных данных. Это один из самых важных инструментов исследования бизнес-операций. Он также широко используется в качестве помощи при принятии решений во многих отраслях: в областях экономики, компьютерных наук, математики и других современных практических исследованиях.
Характеристики задач линейного программирования
Вам будет интересно:Active Password Changer: как пользоваться, советы и рекомендации
Различают следующие характеристики LP:
Условия определение задач
Компании стремятся получить наибольшую доходность в своей деятельности, поэтому должны максимально использовать имеющиеся у них ресурсы: человеческий, материалы, оборудование, средства и другие. LP представляется как полезный инструмент, помогающий определению лучшего решения в компании.
Условия выполнения задач линейного программирования и постановки задач необходимы для получения максимальной чистой прибыли. Для того чтобы решить задачу LP, она должна иметь:
Объективность функции при постановке основной задачи линейного программирования математически выражает цель, которая должна быть достигнута в решении проблемы. Например, максимизировать прибыль компании или минимизировать производственные затраты.
Это представляется уравнением с переменным решением, где: X 1, X 2, X 3, ..., X n — переменные решения; C 1, C 2, C 3, ..., C n — константы.
Каждое ограничение выражается математически с любым из этих признаков:
Этапы постановки задач
Общая постановка задачи линейного программирования и ее формулировка относится к переводу реальной проблемы к виду математических уравнений, которые могут быть решены.
Шаги постановки задачи целочисленного линейного программирования:
Графический способ
Графический метод используется для выполнения задач LP в двух переменных. Этот метод не применяется для решения проблем, которые имеют три или более переменных решений.
Стандартная задача максимизации неизвестных проблем LP, в которой увеличивают функцию, при условии ограничений вида:
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 и дальнейшие ограничения формы:
Ax + By + C z +. , ≤ N,
где А, В, С и N являются неотрицательными числами.
Неравенство должно быть «≤», а не «=» или «≥».
Графический метод LP с двумя неизвестными состоит в следующем:
Определение существующих решений:
Зарисовка набора решений
Выбирают точку отсчета и отмечают блокируемую область.
Рисуют область, представленную неравенством двух переменных при постановке задачи линейного программирования. Кратко для примера:
Симплексный метод для максимизации
Постановку задачи линейного программирования с математической моделью для максимизации можно выполнить с применением симплекс-метода:
Для того чтобы получить базовое решение, соответствующее любой таблице в симплекс-методе, устанавливают в ноль все переменные, которые не отображаются, как метки строк. Значение отображаемой метки строки (активная переменная) — число в крайнем правом столбце в строке, разделенное на число в этой строке в столбце, помеченном той же переменной.
Нестандартные ограничения
Для того чтобы решить задачу LP с ограничениями вида (Ax + By +. , .≥ N) с положительным N, вычитают лишнюю переменную из левой части (вместо добавления слабой переменной). Базовое решение, соответствующее исходной таблице, не будет выполнимо, поскольку некоторые из активных переменных будут отрицательными. Поэтому правила начального поворота отличаются от приведенных выше.
Далее помечают все строки, которые дают отрицательное значение для связанной активной переменной, за исключением целевой. Если есть помеченные строки, нужно начать с I этапа.
I этап. В первой строке находят наибольшее положительное число. Используют тестовые коэффициенты, как в предыдущем разделе, чтобы найти сводку в этом столбце, а затем разворачивают эту запись. Повторяют до тех пор, пока не останется помеченных строк, затем переходят к этапу II.
II этап использует симплекс-метод для стандартной задачи максимизации. Если в левом нижнем ряда после I этапа есть какие-либо отрицательные значения, используют метод стандартных задач максимизации.
Пример игры, которая может быть решена с использованием симплекс-метода.
Онлайн инструмент PHPSimplex
В настоящее время технологические инструменты облегчают многие виды деятельности профессиональной жизни и методы решения задач LP не являются исключением. Преимущество их состоит в том, что можно получить оптимальное решение с любого компьютера с доступом в интернете.
PHPSimplex — отличный онлайн-инструмент для решения задач LP. Это приложение может решать проблемы без ограничений по количеству переменных и ограничений. Для задач с двумя переменными он демонстрирует графическое решение и представляет весь процесс вычисления оптимального решения простым и понятным способом. Он имеет дружественный интерфейс, близок к пользователю, прост в использовании и интуитивно понятен, доступен на нескольких языках.
WanerMath: приложения без границ
Warneth предоставляет 2 инструмента для решения задач линейного программирования:
В отличие от других инструментов, где размещают только коэффициенты, здесь включаются все функции с переменными. Это не представляет большой трудности для начинающих пользователей, так как на профильном сайте есть инструкция по использованию. В дополнение, на сайте есть функция «Примеры», которая автоматически создает задачи, чтобы пользователь мог оценить его работу, например, при постановке транспортной задачи линейного программирования.
JSimplex — еще один инструмент онлайн. Он позволяет решать задачи LP без ограничения количества переменных. Имеет простой интерфейс управления, в котором предлагается указать цель и количество переменных. Пользователь записывает коэффициенты целевой функции, ограничения и нажимает на «решить». Будет показана интеграция, расчет оптимального варианта и результаты каждой переменной.
Как видно, эти инструменты чрезвычайно полезны для легкого изучения процедур решения линейного программирования.
Простой пример LP
Компания выпускает портативные и калькуляторы для научных работ. Долгосрочные прогнозы указывают на ожидаемую ежедневную потребность в 150 научных и 100 портативных калькуляторах. Суточная производственная мощность ежедневно позволяет производить не более 250 научных и 200 портативных калькуляторов.
Для того чтобы выполнить контракт на доставку, необходимо выпустить минимум 250 калькуляторов. Реализация одного — приводит к убытку 20 рублей, но каждый ручной калькулятор приносит прибыль в размере 50 рублей. Необходимо выполнить расчет, чтобы получить максимальную чистую прибыль.
Алгоритм выполнения примера постановки задач линейного программирования:
Области применения
Среди применений линейного программирования наиболее распространены:
Это некоторые из наиболее распространенных применений, где используется линейное программирование. В общем, любая задача оптимизации, которая удовлетворяет вышеуказанным условиям, может быть решена с его помощью.